Электрическая цепь RL

Индуктивность, непрерывность тока и первый точный тест численной модели.

Эквивалентная схема обмотки

Первое приближение для обмотки — последовательно соединённые сопротивление R и индуктивность L. Сопротивление описывает потери в проводнике, индуктивность — способность накапливать энергию магнитного поля. Пока ротор неподвижен, противо-ЭДС вращения равна нулю, и такая цепь позволяет отдельно исследовать электрический переход.

По второму закону Кирхгофа приложенное напряжение распределяется между сопротивлением и индуктивностью:

Падение Ri зависит от величины тока, а L di/dt — от темпа его изменения. Сразу после подключения постоянного напряжения к обесточенной обмотке i(0) = 0, поэтому весь входной сигнал приходится на индуктивность. Затем ток увеличивается, падение на сопротивлении растёт, а производная тока уменьшается.

Точное решение при включении

При постоянном U и начальном токе i₀ решение имеет вид:

Возьмём U = 12 В, R = 2 Ом и L = 0,02 Гн. Электрическая постоянная времени равна 0,01 с, установившийся ток — 6 А, а начальная скорость роста тока — 600 А/с. Через 10 мс ток достигнет примерно 3,79 А. Через 50 мс он будет близок к 5,96 А.

Индуктивность влияет на длительность перехода, но при постоянном напряжении не меняет конечный ток. Сопротивление влияет и на постоянную времени, и на конечный ток. Поэтому фраза «увеличение параметра замедляет процесс» без указания, какой параметр изменён и что фиксировано, недостаточна.

Спад тока и путь замыкания

Если заменить источник идеальным коротким замыканием, цепь R–L остаётся замкнутой, а напряжение источника становится нулевым. Ток спадает по закону i(t) = i₀ exp(−t/τe). Запас магнитной энергии переходит в тепло на сопротивлении.

Это отличается от идеального разрыва цепи. При размыкании нужно учитывать путь тока через диод, дугу, ёмкость или защитную цепь. Нельзя одновременно требовать мгновенного обнуления тока индуктивности и конечного напряжения. Базовая модель спада ниже предполагает именно замкнутый контур.

Проверка по энергии

Умножим уравнение цепи на ток:

Входная электрическая мощность делится между потерями и изменением запаса энергии. При u = 0 производная энергии отрицательна и равна −Ri². Для начального тока 6 А запас энергии составляет 0,36 Дж. Интеграл потерь на достаточно длинном интервале должен приближаться к этому значению.

Энергетический баланс полезен как независимая проверка: ошибка знака перед R может превратить затухающую цепь в самовозбуждающуюся, хотя красивый график сам по себе этого не объяснит.

Численный эксперимент

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
R, L, U = 2.0, 0.02, 12.0
t = np.linspace(0, 0.08, 801)
sol = solve_ivp(lambda t, y: [(U-R*y[0])/L],
                (t[0], t[-1]), [0.0], t_eval=t,
                rtol=1e-8, atol=1e-10)
assert sol.success, sol.message
exact = U/R * (1-np.exp(-R*t/L))
print(np.max(np.abs(sol.y[0]-exact)))

Мы сравниваем значения в одних и тех же точках времени. Разность имеет размерность ампер. Если уменьшение допусков не уменьшает ошибку, проверьте формулу эталона, параметры и соответствие начальных условий.

Практическая работа

Увеличьте L вдвое, сохранив U и R. Сравните ток через 10 мс и через 100 мс. Затем увеличьте R вдвое при исходной L. Найдите новую постоянную времени и новый предел тока. Для второго случая это 5 мс и 3 А.

Что запомнить

Ток определяется не только сопротивлением, но и запасом магнитной энергии. Указывайте схему после переключения. Аналитическое решение RL-цепи — обязательный простой эталон перед исследованием более сложного двигателя.